問1
★
内積
\(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\)、\(\mathbf{b} = (4, -5, 6)\) の内積 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) はいくつか。
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答え12
\(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 4 - 10 + 18\)。
ベクトルと行列
1. ベクトルの基礎
ベクトルは大きさと方向を持つ量で、双極子モーメント・分子力場・電場など化学の多くの物理量はベクトルです。
ベクトルの内積（ドット積）
\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\]
内積は射影の概念で、分子軌道の重なり積分 \(S = \langle\phi_1|\phi_2\rangle\) はこれの関数空間版です。
ベクトルの外積（クロス積）
\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\]
\(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\)。角運動量 \(\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\) の計算に使います。
勾配・発散・回転（nabla 演算子）
\[\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right), \quad
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\]
ラプラシアン \(\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla\) はシュレーディンガー方程式の運動エネルギー演算子に登場します。
2. 行列の演算
行列積
\[(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}\]
一般に \(AB \neq BA\)（非可換）。量子力学では演算子の非可換性が不確定性原理の数学的根拠です：
\[[\hat{x}, \hat{p}_x] = \hat{x}\hat{p}_x - \hat{p}_x\hat{x} = i\hbar\]
転置・エルミート共役
\[(A^T)_{ij} = A_{ji}, \quad (A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^*\]
エルミート行列（\(A = A^\dagger\)）の固有値は必ず実数 → 量子力学の物理量（オブザーバブル）はエルミート演算子で表されます。
行列の指数関数
\[e^A = \sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!} = I + A + \frac{A^2}{2!} + \cdots\]
NMR の密度行列の時間発展 \(\rho(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}\rho(0)e^{i\hat{H}t/\hbar}\) に使われます。
3. 行列式と逆行列
行列式（Determinant）
\[\det(A) = |A| = \sum_\sigma \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_i A_{i,\sigma(i)}\]
2×2 の場合：
\[\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\]
スレーター行列式（多電子波動関数のパウリ原理を満たす形）は \(N\times N\) 行列式です：
\[\Psi(1,2,\ldots,N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \chi_1(1) & \chi_2(1) & \cdots \\ \chi_1(2) & \chi_2(2) & \cdots \\ \vdots & & \ddots \end{vmatrix}\]
逆行列
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)\]
\(\det(A) = 0\) のとき逆行列は存在しない（線形従属）。連立方程式 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) の解は \(\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\)。
4. 化学への応用
キルヒホッフ回路方程式（電池・電気分解の解析）
複数の起電力と抵抗からなる回路は行列方程式 \(A\mathbf{I} = \mathbf{V}\) として解けます。
分子軌道法とヒュッケル行列
共役分子のヒュッケル近似では Hamiltonian 行列を設定します（ベンゼンの例）：
\[H = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 & 0 & 0 & \beta \\ \beta & \alpha & \beta & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \beta & \alpha & \beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta & \alpha & \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta & \alpha & \beta \\ \beta & 0 & 0 & 0 & \beta & \alpha \end{pmatrix}\]
この固有値問題を解くと分子軌道エネルギー \(\alpha \pm 2\beta, \alpha \pm \beta, \alpha \pm \beta\) が得られます。
座標変換と回転行列
対称操作（回転・反射）は行列で表現され、群論の基礎となります：
\[R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
🎯 練習問題
まず自分で解いてから、「答えを見る」を押して確かめましょう。
問2
★
行列式
行列式 \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}\) の値はいくつか。
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答え5
\(ad - bc = 2\times4 - 3\times1\)。
問3
★★
内積と角度
\(|\mathbf{a}| = 2\)、\(|\mathbf{b}| = 3\) で、2つのベクトルのなす角が \(60^\circ\) のとき、内積 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) はいくつか。
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答え3
\(|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta = 2\times3\times\dfrac{1}{2}\)。
問4
★★
逆行列
正方行列 \(A\) の逆行列が存在しないのは、どの場合か。
- ア\(\det A = 1\)
- イ\(\det A = 0\)
- ウ\(\det A < 0\)
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答えイ
\(A^{-1} = \mathrm{adj}(A)/\det A\) なので、\(\det A = 0\) では定義できない。
問5
★★
行列の積
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)、\(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) のとき、積 \(AB\) の \((1, 1)\) 成分はいくつか。
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答え2
\((AB)_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} = 1\times0 + 2\times1\)。
問6
★★★
直交するベクトル
\(\mathbf{a} = (1, 2, 2)\) と \(\mathbf{b} = (2, 1, k)\) が直交するとき、\(k\) の値はいくつか。
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答え−2
直交するとき内積は0。\(2 + 2 + 2k = 0\)。
✅ この単元のまとめ
- 内積 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |a||b|\cos\theta\) は重なり積分・射影の概念に対応する。
- 行列積は非可換で、\([\hat{x},\hat{p}] = i\hbar\) の非可換性が不確定性原理の根拠。
- エルミート行列の固有値は実数 → 物理量の演算子はエルミートでなければならない。
- スレーター行列式はパウリ原理（反対称性）を自動的に満たす多電子波動関数の形。