問1
★
半減期
1次反応の速度定数が \(k = 0.0693\ \mathrm{s^{-1}}\) のとき、半減期は何 s か。\(\ln 2 = 0.693\) とし、整数で答えよ。
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答え10 s
\(t_{1/2} = \ln 2 / k\)。
常微分方程式（変数分離・反応速度論）
1. 変数分離法
常微分方程式（ODE）は一変数の微分を含む方程式です。化学反応速度論はODEの最も重要な応用例の一つです。
変数分離の原理
\(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\) の形のODEは変数を分離して積分できます：
\[\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx \implies \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx\]
1次反応速度式の解
\(-\frac{d[A]}{dt} = k[A]\) を変数分離して積分：
\[\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt \implies \ln[A] = -kt + C \implies [A](t) = [A]_0 e^{-kt}\]
半減期 \(t_{1/2}\) は \([A] = [A]_0/2\) となる時刻：
\[t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} \approx \frac{0.693}{k}\]
2. 線形一階ODE
標準形と積分因子法
\[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\]
積分因子 \(\mu(x) = e^{\int P(x)dx}\) を両辺に掛けると：
\[\frac{d}{dx}[\mu y] = \mu Q \implies y = \frac{1}{\mu}\int \mu Q\,dx\]
連続流動反応器（CSTR）の例
定常流で濃度が変化する場合（CSTR モデル）：
\[\frac{d[A]}{dt} = \frac{[A]_{in} - [A]}{\tau} - k[A]\]
これは線形1階ODE で、定常解は \([A]_{ss} = [A]_{in} / (1 + k\tau)\) となります。
3. 反応速度論への応用
2次反応速度式の積分
\[-\frac{d[A]}{dt} = k[A]^2 \implies \frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = kt\]
連続反応（A → B → C）
速度定数 \(k_1, k_2\) の連続反応は連立ODEになります：
\[\frac{d[A]}{dt} = -k_1[A], \quad \frac{d[B]}{dt} = k_1[A] - k_2[B], \quad \frac{d[C]}{dt} = k_2[B]\]
解は：
\[[A] = [A]_0 e^{-k_1 t}, \quad [B] = \frac{k_1[A]_0}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1 t} - e^{-k_2 t}\right)\]
放射壊変の連鎖
同じ数学的構造で放射壊変の娘核種濃度も計算できます（バテマン方程式）。
4. 二階線形ODE
振動分光（IR・Raman）の古典的記述は調和振動子のODEから始まります。
定係数二階線形ODE
\[ay'' + by' + cy = 0\]
特性方程式 \(a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\) の解 \(\lambda_1, \lambda_2\) により：
| 判別式 \(D = b^2-4ac\) | 一般解 |
|---|---|
| \(D > 0\) （過減衰） | \(C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}\) |
| \(D = 0\) （臨界減衰） | \((C_1 + C_2 t)e^{\lambda t}\) |
| \(D < 0\) （減衰振動） | \(e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)\) |
量子調和振動子のシュレーディンガー方程式
古典的な \(m\ddot{x} + kx = 0\) の量子版は：
\[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\psi = E\psi\]
エネルギー固有値は \(E_n = \hbar\omega(n + 1/2)\)（\(n = 0, 1, 2, \ldots\)）です。
🎯 練習問題
まず自分で解いてから、「答えを見る」を押して確かめましょう。
問2
★★
1次反応の濃度
半減期が 20 s の1次反応がある。\([A]_0 = 0.80\) mol/L のとき、40 s 後の \([A]\) は何 mol/L か。有効数字2桁で答えよ。
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答え0.20 mol/L
40 s は半減期2回分。\(0.80 \to 0.40 \to 0.20\)。
問3
★★
変数分離法
微分方程式 \(\dfrac{dy}{dx} = -2y\) の解で、\(y(0) = 3\) を満たすものはどれか。
- ア\(y = 3e^{-2x}\)
- イ\(y = 3e^{2x}\)
- ウ\(y = -2e^{3x}\)
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答えア
変数分離して積分すると \(\ln y = -2x + C\)。\(y = y(0)e^{-2x}\)。
問4
★★
2次反応の濃度
2次反応 \(-d[A]/dt = k[A]^2\) で、\([A]_0 = 0.50\) mol/L、\(k = 1.0\) L/(mol·s) のとき、\(t = 2.0\) s での \([A]\) は何 mol/L か。有効数字2桁で答えよ。
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答え0.25 mol/L
\(1/[A] = 1/[A]_0 + kt = 2.0 + 2.0 = 4.0\)。
問5
★★★
二階線形微分方程式
微分方程式 \(y'' + 2y' + 5y = 0\) の解の形はどれか。
- ア過減衰
- イ臨界減衰
- ウ減衰振動
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答えウ
特性方程式の判別式は \(D = 2^2 - 4\times1\times5 = -16 < 0\)。
問6
★★★
連続流動反応器の定常状態
連続流動反応器（CSTR）の定常状態の濃度は \([A]_{ss} = [A]_{in}/(1 + k\tau)\) で表される。\([A]_{in} = 1.0\) mol/L、\(k = 0.50\ \mathrm{s^{-1}}\)、\(\tau = 2.0\) s のとき、\([A]_{ss}\) は何 mol/L か。有効数字2桁で答えよ。
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答え0.50 mol/L
\(1.0 / (1 + 0.50 \times 2.0) = 1.0 / 2.0\)。
✅ この単元のまとめ
- 変数分離法で1次・2次反応速度式を積分し、\([A](t)\) を求める。
- 連続反応・放射壊変は連立ODEとなり、行列法または逐次積分で解く。
- 二階線形ODEは振動現象（IR吸収の古典モデル）に対応し、特性方程式の判別式で解の形が決まる。
- 量子調和振動子のエネルギー \(E_n = \hbar\omega(n+1/2)\) は二階ODEの固有値問題の結果。