問1
★
不定積分
\(\displaystyle\int x^2\,dx\) はどれか。\(C\) は積分定数である。
- ア\(2x + C\)
- イ\(\dfrac{x^3}{3} + C\)
- ウ\(x^3 + C\)
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答えイ
\(\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)。
積分法（不定積分・定積分・ガウス積分・重積分）
1. 不定積分の基本公式
積分は微分の逆演算であり、分子の配座エントロピー計算・分配関数・電場の計算など化学の至るところで用います。
基本不定積分
| 被積分関数 | 不定積分 |
|---|---|
| \(x^n \;(n\neq -1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(x^{-1} = 1/x\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax} + C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
置換積分
\[\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad (u = g(x))\]
例：\(\int xe^{-x^2}dx\)。\(u = -x^2\) と置くと \(du = -2x\,dx\)：
\[\int xe^{-x^2}dx = -\frac{1}{2}\int e^u du = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C\]
部分積分
\[\int u\,dv = uv - \int v\,du\]
例：\(\int x e^x dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C\)
2. 定積分と面積
微積分の基本定理
\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)\]
化学での例：分子の配置エントロピー計算では相空間上の積分、反応速度論では速度式を積分して濃度変化を求めます。
2次反応 \(-d[A]/dt = k[A]^2\) の積分：
\[\int_{[A]_0}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]^2} = -k\int_0^t dt \implies \frac{1}{[A]} - \frac{1}{[A]_0} = kt\]
3. ガウス積分
統計力学・量子化学・分子速度分布（マクスウェル-ボルツマン分布）の計算に必須の積分です。
基本ガウス積分
\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0)\]
導出のアイデア（極座標変換）
\[I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx \implies I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = \pi\]
よって \(I = \sqrt{\pi}\)。
マクスウェル速度分布への応用
気体分子の速さ \(v\) の分布（マクスウェル-ボルツマン）：
\[f(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2 \exp\!\left(-\frac{mv^2}{2k_B T}\right)\]
平均速度 \(\langle v \rangle = \sqrt{8k_B T/(\pi m)}\) はガウス積分から求まります。
一般化ガウス積分
\[\int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-ax^2}dx = \frac{(2n-1)!!}{(2a)^n}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\]
4. 重積分
二重積分（直交座標）
\[\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y)\,dy\right)dx\]
極座標への変換
ヤコビアン \(J = r\) を忘れずに：
\[\iint f(x,y)\,dx\,dy = \iint f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta\]
球座標への変換
原子軌道の積分に必須：
\[\iiint f\,dx\,dy\,dz = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^\infty f(r,\theta,\phi)\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\]
水素原子の1s 軌道 \(\psi_{1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi}\,a_0^{3/2}}e^{-r/a_0}\) の規格化条件：
\[\int|\psi_{1s}|^2 dV = \frac{4}{a_0^3}\int_0^\infty r^2 e^{-2r/a_0}dr = 1\]
🎯 練習問題
まず自分で解いてから、「答えを見る」を押して確かめましょう。
問2
★
定積分
\(\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx\) の値はいくつか。
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答え8
原始関数は \(x^3\)。\(2^3 - 0^3\)。
問3
★★
定積分
\(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx\) の値はいくつか。
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答え2
原始関数は \(-\cos x\)。\(-\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1\)。
問4
★★
定積分
\(\displaystyle\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx\) の値はいくつか。
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答え1
原始関数は \(\ln|x|\)。\(\ln e - \ln 1\)。
問5
★★
ガウス積分
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\) の値はどれか。
- ア\(\sqrt{\pi}\)
- イ\(\pi\)
- ウ\(\sqrt{2\pi}\)
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答えア
\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\pi/a}\) で \(a = 1\)。
問6
★★★
2次反応の積分形
2次反応では \(\dfrac{1}{[A]} - \dfrac{1}{[A]_0} = kt\) が成り立つ。\([A]_0 = 1.0\) mol/L、\(k = 0.50\) L/(mol·s) のとき、\(t = 2.0\) s での \([A]\) は何 mol/L か。有効数字2桁で答えよ。
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答え0.50 mol/L
\(1/[A] = 1/1.0 + 0.50 \times 2.0 = 2.0\)。
✅ この単元のまとめ
- 不定積分は微分の逆演算で、置換積分・部分積分が主な計算手法。
- ガウス積分 \(\int e^{-ax^2}dx = \sqrt{\pi/a}\) は統計力学・量子化学の計算基盤。
- 球座標の重積分（ヤコビアン \(r^2\sin\theta\)）は原子軌道の規格化・期待値計算に使う。