微分法
1. 微分の定義と基本公式
微分は「瞬間的な変化率」を表す概念です。反応速度 \(v = d[A]/dt\) のように、化学では時間や温度に対する変化率として頻繁に登場します。
微分の定義
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]
基本的な微分公式
| 関数 \(f(x)\) | 導関数 \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(x^n\) | \(n x^{n-1}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(e^{ax}\) | \(a e^{ax}\) |
| \(\ln x\) | \(1/x\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
2. 合成関数の微分と積の微分
連鎖律（Chain Rule）
\[\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
例：\(\frac{d}{dx} e^{-x^2} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}\)
積の微分則（Product Rule）
\[(fg)' = f'g + fg'\]
商の微分則（Quotient Rule）
\[\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\]
対数微分法
複雑な積・商の微分に有効です。\(y = f(x)\) の両辺の対数をとって微分します：
\[\ln y = \ln f(x) \implies \frac{y'}{y} = (\ln f)' \implies y' = y \cdot (\ln f)'\]
例：\(y = x^x\) の微分 → \(\ln y = x\ln x\) → \(y'/y = \ln x + 1\) → \(y' = x^x(\ln x + 1)\)
3. 化学への応用
反応速度と微分
1次反応 \([A] = [A]_0 e^{-kt}\) の反応速度：
\[v = -\frac{d[A]}{dt} = k[A]_0 e^{-kt} = k[A]\]
アレニウス式の対数微分
速度定数 \(k = A e^{-E_a/RT}\) を \(T\) で対数微分すると van't Hoff 型の式が得られます：
\[\frac{d\ln k}{dT} = \frac{E_a}{RT^2}\]
熱力学関係式
ギブズエネルギーの温度微分（ギブズ-ヘルムホルツ式）：
\[\left(\frac{\partial(G/T)}{\partial T}\right)_P = -\frac{H}{T^2}\]
✅ この単元のまとめ
- 微分は極限 \(\lim_{h\to0}(f(x+h)-f(x))/h\) として定義され、瞬間変化率を表す。
- 連鎖律・積の法則・対数微分法は複合的な関数の微分に使用する。
- 反応速度 \(d[A]/dt\)、アレニウス式の温度微分など、化学の基本式は微分で導かれる。