関数の基礎（指数・対数・三角関数）
1. 指数関数と対数関数
化学では濃度の対数（pH）や反応速度定数のアレニウス式、放射壊変など至るところに指数・対数が登場します。
指数関数の定義と性質
自然定数 \(e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828\) を底とする指数関数を自然指数関数と呼びます。
\[f(x) = e^x, \quad \frac{d}{dx}e^x = e^x\]
一般の底 \(a > 0,\ a \neq 1\) に対しては \(a^x = e^{x \ln a}\) と書き換えられます。
対数関数の定義と性質
\[y = \ln x \iff x = e^y \qquad (x > 0)\]
対数の基本法則：
\[\ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \quad \ln a^n = n\ln a\]
化学でよく使うのは常用対数 \(\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}\) で、pH の定義はその典型例です：
\[\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]\]
アレニウス式
反応速度定数 \(k\) の温度依存性を表すアレニウス式は指数関数の代表例です：
\[k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{RT}\right)\]
両辺の自然対数をとると：
\[\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \cdot \frac{1}{T}\]
\(\ln k\) を \(1/T\) に対してプロットすれば、傾き \(-E_a/R\) から活性化エネルギー \(E_a\) が求まります。
注意：\(\log_10\) と \(\ln\) を混同しないこと。変換式は \(\ln x = 2.3026 \log_{10} x\) です。
2. 三角関数
三角関数は波動（光・音）の記述やフーリエ解析、結晶の構造因子など化学の多くの分野で不可欠です。
基本定義と重要な値
\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\]
| \(\theta\) | \(0\) | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1/2\) | \(0\) |
加法定理と積和変換
\[\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta\]
\[\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta\]
積から和への変換（X線回折の干渉計算などで使用）：
\[\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]\]
3. 複素数の極形式
波動関数や NMR の FID 信号の解析には複素数表示が不可欠です。
オイラーの公式
\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]
複素数 \(z = x + iy\) の極形式：
\[z = r e^{i\theta}, \quad r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arg(z) = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\]
三角関数の指数表示（計算の簡素化に有用）：
\[\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\]
化学での使用例：波動関数
量子力学の平面波は \(\psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}\) と書かれます。実際の観測量は実部に対応し、
\[\mathrm{Re}[\psi] = A\cos(kx - \omega t)\]
✅ この単元のまとめ
- 指数関数 \(e^x\) と対数 \(\ln x\) は互いに逆関数。アレニウス式・pH など化学の基本式に直結する。
- 三角関数は周期 \(2\pi\) の波を記述し、加法定理は干渉・回折の計算に使う。
- オイラーの公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) により指数・三角・複素数が統一される。