重積分

～Chem Atlas～

このページの使い方（参考書）

まず“式カード”で要点をつかむ

\[ \iint_{D} f(x,y)\, dA = \int_{x=a}^{b}\!\left(\int_{y=\alpha(x)}^{\beta(x)}\! f(x,y)\,dy\right)dx = \int_{y=c}^{d}\!\left(\int_{x=\gamma(y)}^{\delta(y)}\! f(x,y)\,dx\right)dy. \]

意味：二重積分は、順序を決めた反復積分として計算できます（Fubini の定理）。

単位：被積分関数が f、面積要素 dA（m^2）を掛けるので、fの単位×m^2。

\[ \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{R} f\!\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\;\bigl|\det J(u,v)\bigr|\;du\,dv,\\ J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}. \]

意味：座標変換で面積（体積）の伸び縮みを ヤコビアン |det J| が補正します。

単位：du\,dv は“新しい”面積要素。|det J|が“倍率”になります。

\[ \text{極座標： } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\quad dA=\color{#c00}{r}\,dr\,d\theta. \tag{2D} \] \[ \text{円柱座標： } (r,\theta,z),\quad dV=\color{#c00}{r}\,dr\,d\theta\,dz. \tag{3D} \] \[ \text{球座標： } (\rho,\theta,\phi),\ \theta\in[0,2\pi),\ \phi\in[0,\pi],\quad dV=\color{#c00}{\rho^2\sin\phi}\,d\rho\,d\phi\,d\theta. \]

計算の流れ：領域を座標に合わせて設定 → dA/dV を上の形に置換 → 反復積分。

注意：球座標の角（\phi）はz軸からの極角で定義しています（教科書により記号の流儀が異なるので確認）。

操作のヒント：式カードはクリック/Enterで拡大表示できます。

座標系まとめ（変換とヤコビアン）

系変換要素ヤコビアン
直交（2D） \(x=x,\ y=y\) \(dA=dx\,dy\) \(|\det J|=1\)
極（2D） \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\) \(dA=r\,dr\,d\theta\) \(|\det J|=r\)
円柱（3D） \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z\) \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\) \(|\det J|=r\)
球（3D） \(x=\rho\sin\phi\cos\theta,\ y=\rho\sin\phi\sin\theta,\ z=\rho\cos\phi\) \(dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\) \(|\det J|=\rho^2\sin\phi\)

単位：面積要素は m^2、体積要素は m^3。密度と掛ければ質量や物質量などの総量が出ます。

典型例（化学でよく使う形）

\[ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le R^2\} \quad\Rightarrow\quad \text{Area}(D)=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{R} \color{#c00}{r}\,dr\,d\theta = \pi R^2. \]

説明：極座標にすると境界が 0≤r≤R, 0≤θ<2π と単純化。r が面積の“倍率”。

単位：結果は面積なので m^2。

\[ B=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le R^2\} \Rightarrow V(B)=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{R} \color{#c00}{\rho^2\sin\phi}\,d\rho\,d\phi\,d\theta = \frac{4}{3}\pi R^3. \]

説明：球座標の体積要素 \rho^2\sin\phi を使うと一発で出ます。

単位：結果は体積なので m^3。

\[ I=\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-r^2}\,\color{#c00}{r}\,dr\,d\theta = \pi. \]

説明：r を置換 t=r^2 にすると \int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr = \tfrac12。片側のガウス積分の二乗から導く有名な結果。

化学での例：統計熱力学・確率密度の正規化、2次元の等方的分布の扱い。

\[ m=\iint_{D}\sigma(x,y)\,dA,\qquad \bar{x}=\frac{1}{m}\iint_D x\,\sigma\,dA,\quad \bar{y}=\frac{1}{m}\iint_D y\,\sigma\,dA. \]

説明：面密度 \sigma（単位：kg·m^{-2} など）を掛ければ質量が得られます。重心は“モーメント/総量”。

注意：密度や濃度を使うときは単位の整合性を常に確認。

練習問題（解答はクリックで表示）

Q1：半径 \(R=2.50\,\mathrm{cm}\) の円盤の面積を極座標で計算せよ。

A：\(\displaystyle \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{R} r\,dr\,d\theta=\pi R^2\approx 19.6\ \mathrm{cm^2}\)。

Q2：半径 \(R=1.00\,\mathrm{nm}\) の球の体積は？（単位は \(\mathrm{nm^3}\)）

A：\(\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3\approx 4.19\ \mathrm{nm^3}\)。

Q3：円柱 \(0\le r\le R,\ 0\le \theta<2\pi,\ 0\le z\le H\) の体積を円柱座標で。

A：\(\displaystyle \int_0^{H}\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{R} r\,dr\,d\theta\,dz=\pi R^2 H\)。

Q4：単位円盤 \(x^2+y^2\le1\) 上で \(f=r^2\) の平均値 \(\bar{f}\) を求めよ。

A：\(\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{1} r^2\cdot r\,dr\,d\theta=\frac{1}{\pi}\cdot 2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。

Q5：2次元ガウス \(p(x,y)=\frac{1}{\pi}e^{-(x^2+y^2)}\) は正規化されていることを示せ。

A：上の \(I=\pi\) を用いれば \(\iint p\,dx\,dy=\frac{1}{\pi}I=1\)。