このページの使い方（参考書）
まず“式カード”で要点をつかむ
意味：点 \(a\) 周りの多項式近似。\(a=0\) のときがマクローリン展開。
単位：\((x-a)\) は変数の次元を持ちます。ln やべき級数は無次元の組（例：\(x/x_0\)）で展開すると安全です。
意味： \(n\) 次までで打切ったときの誤差。区間内の \(f^{(n+1)}\) の上界 \(M\) を見積もると \(|R_{n+1}(x)|\le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\)。
注意： 収束半径の外では近似が破綻します（対数や \((1+x)^\alpha\) は \(x=-1\) に特異点）。
収束：指数・三角は全域で収束（整関数）。\(\ln(1+x)\), \((1+x)^\alpha\) は 中心から x = −1 までの距離が収束半径。
操作ヒント：式カードはクリック／Enterで拡大表示できます。
収束半径と条件（要点）
| 関数 | 展開中心 \(a\) | 収束半径 \(R\) | 注意 |
|---|---|---|---|
| \(e^x, \sin x, \cos x\) | 任意 | \(R=\infty\) | 整関数（全域収束） |
| \(\ln(1+x)\) | \(a>-1\) | \(R=|a-(-1)|=|a+1|\) | \(x>-1\) のみ定義。引数は無次元で。 |
| \((1+x)^{\alpha}\) | \(a>-1\) | \(R=|a+1|\) | \(1+x>0\)（実数上）。非整数 \(\alpha\) で負側は要注意。 |
テイラー近似ツール（関数・中心・次数・誤差）
選んだ関数 \(f\)、中心 \(a\)、次数 \(n\) に対し、近似多項式 \(P_n(x)\) と誤差を計算・描画します。 \(\ln\)・\((1+x)^\alpha\) は 引数を無次元で扱うのが原則です。
誤差評価：\(|R_{n+1}(x)|\le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}\)。\(M\) は区間 \([a,x]\) での \(|f^{(n+1)}|\) の上界。
化学での使いどころ（例）
- 小さな変化の一次近似： \(\ln(1+\varepsilon)\approx \varepsilon\)。濃度の微小変化・比の直線化（無次元の \(\varepsilon\) が前提）。
- Arrhenius の近似： \(k=Ae^{-E_a/(RT)}\) を基準温度 \(T_0\) 近くで一次展開し、\(\ln k\) の変化を見積もる。
- 吸光度の直線化： 透過率 \(T=10^{-A}\) を \(A\ll1\) で \(T\approx 1-\ln 10 \, A\) と見積もる（オーダ確認）。
練習問題（解答はクリックで表示）
Q1：\(\ln(1+x)\) を \(x=0\) で 3 次まで。収束半径は？
A：\(\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4)\)、収束半径 \(R=1\)。
Q2：\(\sin x\) を \(x=\pi/4\) で 2 次まで。\(x=\pi/3\) の近似誤差の概算は？
A：\(|R_3|\le \frac{1}{3!}|x-a|^3\)（\(|\sin|,|\cos|\le1\) を使用）。\(|x-a|=\pi/3-\pi/4=\pi/12\)。
Q3：\((1+x)^{\alpha}\) を \(a=0\) で 2 次まで。係数は？
A：\(1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+O(x^3)\)。