偏微分

～Chem Atlas～

このページの使い方（参考書）

まず“式カード”で要点をつかむ

\[ f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},\quad f_y(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y} \tag{1} \]

意味：他方の変数を一定に保った微分。例：y を固定して x だけを微小に動かす。

単位： f の単位を [f]、x を [x] とすれば f_x の単位は [f]/[x]。

\[ \mathrm{d}f \approx f_x\,\mathrm{d}x + f_y\,\mathrm{d}y, \qquad f(x,y) \approx f(x_0,y_0) + f_x|_0(x-x_0) + f_y|_0(y-y_0) \tag{2} \]

意味：微小変化 (dx,dy) に対し、f の変化を接平面で線形近似。

使い方：測定値のばらつき評価（誤差伝搬）や、表面の傾きを読むときに便利。

\[ \nabla f = \bigl(f_x,\,f_y\bigr),\quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\ (|\mathbf{u}|=1) \tag{3} \]

意味：勾配ベクトルは最も増える方向とその増え方を示す。方向微分は単位ベクトル u 方向の増え方。

化学で：反応面・ポテンシャル面の「登り方向」を捉える、最急降下法の直観。

\[ \frac{\partial z}{\partial u} = f_x\frac{\partial x}{\partial u} + f_y\frac{\partial y}{\partial u},\qquad \text{if }F(x,y)=0:\ \ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x}{F_y} \tag{4} \]

意味：合成された変数の変化（x(u,v),y(u,v)）や、制約式 F=0 から y(x) を読む公式。

注意：F_y \neq 0 のときに成立。

操作のヒント：式カードはクリック/Enterで拡大表示できます（より大きな数式で確認）。

ミニツール：偏微分・接平面・方向微分・誤差伝搬

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表示：領域 x,y ∈ [-3,3]。濃淡は f の相対値、矢印は ∇f(x0,y0) の方向（伸びは目安）。
数値は中央差分で計算：\(f_x \approx \{f(x+h,y)-f(x-h,y)\}/(2h)\), \(f_y \approx \{f(x,y+h)-f(x,y-h)\}/(2h)\)。

誤差伝搬（一次近似）

公式：\(\sigma_f^2 \approx (f_x\sigma_x)^2 + (f_y\sigma_y)^2\)。相関なしの仮定。

陰関数の微分：\(F(x,y)=0\) から \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\)

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式：(4) より \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x}{F_y}\)（ただし \(F_y\neq 0\)）。点が曲線上かどうか（\(F(x,y)\approx 0\)）も併せて表示。

練習問題（解答はクリックで表示）

Q1：\(f(x,y)=x^2y+\sin(xy)\)。\( (x_0,y_0)=(0,0)\) で \(f_x, f_y\) は？

A：\(f_x=2xy+y\cos(xy)\Rightarrow 0\)、\(f_y=x^2+x\cos(xy)\Rightarrow 0\)。よって \(\nabla f=\mathbf{0}\)。

Q2：\(f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}\)。\((0,0)\) の接平面は？

A：\(f(0,0)=1\)、\(f_x=f_y=0\) なので \(z=1\)。

Q3：\(F(x,y)=x^2+y^2-1=0\)。\((x,y)=(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2})\) で \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\)。

A：\(F_x=2x, F_y=2y\Rightarrow \mathrm{d}y/\mathrm{d}x=-x/y=-1\)。

Q4：誤差伝搬。\(f(x,y)=xy\)、\(x=2.00\pm0.02,\ y=3.00\pm0.03\)。\(\sigma_f\) は？

A：\(f_x=y=3.00,\ f_y=x=2.00\)。\(\sigma_f\approx\sqrt{(3\cdot0.02)^2+(2\cdot0.03)^2}=0.072\)。