このページのねらい
複素数は、波の表現・位相の取り扱い・線形システムの解析を簡潔にします。 化学では FT-IR/NMR のフーリエ変換、交流インピーダンス（EIS）、振動・回転の位相に直結。 ここでは 直交（実部・虚部）と極形式、オイラーの公式、四則演算、フェーザ合成をミニツールで体感します。
複素数の基本
| 項目 | 式 | ポイント |
|---|---|---|
| 定義 | z = x + iy（x = \Re z, y = \Im z, i^2 = -1） |
直交座標（実軸・虚軸） |
| 極形式 | z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta} |
r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}、\theta=\arg z = \mathrm{atan2}(y,x) |
| 共役 | \overline{z} = x - iy |
|z|^2 = z\overline{z} |
| 積・商（極形式） | z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}z_1/z_2 = (r_1/r_2) e^{i(\theta_1-\theta_2)} |
位相が加減されるのがポイント |
| 複素指数 | e^{(\sigma+i\omega)t}=e^{\sigma t}\{\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)\} |
減衰振動の記述（実部が可観測量） |
直交（x+iy）↔ 極形式（r∠θ）
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複素数の演算
z1 と z2 を入力
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掛け算・割り算では、極形式だと「大きさは掛け算/割り算」「位相は加算/減算」で直観的に把握できます。
オイラーの公式：e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
°
→
\Re：、\Im：
単位円上の点 e^{i\theta} が回転（位相変化）を表します。実部が \cos\theta、虚部が \sin\theta。
フェーザ合成（A∠φ と B∠ψ の和）
※ A∠φ + B∠ψ = 実軸・虚軸に分解してからベクトル和。結果の大きさと位相を表示。
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EISの最小例：直列 R–C のインピーダンス
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式：Z = R + \frac{1}{i\omega C} = R - i\frac{1}{\omega C}（\omega=2\pi f）。ナイキスト図では （\Re Z, -\Im Z） を用います。
練習問題（解答はクリックで表示）
Q1：z=1+i\sqrt{3} を極形式で。
A：r=2、\theta=60^\circ → z=2e^{i\pi/3}
Q2：2∠30^\circ と 3∠45^\circ の積。
A：大きさ 6、位相 75^\circ → 6∠75^\circ
Q3：\theta=120^\circ のとき e^{i\theta} の実部・虚部。
A：\cos120^\circ=-1/2、\sin120^\circ=\sqrt{3}/2
Q4：フェーザ 1∠0^\circ と 1∠90^\circ の和の大きさ・位相。
A：\sqrt{2}、45^\circ
Q5：R=100 Ω、C=1 μF、f=1.0 kHz。Z の実部・虚部。
A：\omega=2\pi×10^3、\Im Z = -1/(\omega C) ≈ -159.15 Ω、\Re Z = 100 Ω