大学で化学を学ぶための数学｜指数関数と対数関数

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\[ y = A\,e^{k x} \tag{1} \]

意味： \(k\) は増減の“率”。\(k>0\) で増加、\(k<0\) で減衰。一次反応では \([A](t)=[A]_0 e^{-k t}\)。

直線化： \(\ln y = kx + \ln A\)（片対数で直線、傾き \(k\)、切片 \(\ln A\)）。

単位： \(k\) は \(\mathrm{s^{-1}}\) 等、\(A\) は \(y\) と同じ単位。

\[ y = a\,\ln x + b \tag{2} \]

意味： \(\ln\) は自然対数（底 \(e\)）。入力 \(x\) は正である必要があります。

単位： \(\ln(\cdot)\) の引数は無次元が原則。必要に応じて基準量で割って無次元化します。

操作のヒント：上の式カードはクリック／Enterで拡大表示できます（数式をさらに大きく表示）。

内容	式	補足
指数の法則	\( a^{m} a^{n} = a^{m+n},\quad (a^{m})^{n}=a^{mn} \)	\( a>0,\ a\neq 1 \)
対数の法則	\( \log_a(xy)=\log_a x + \log_a y,\ \ \log_a(x^r)=r\log_a x \)	\( x,y>0 \)
底の変換	\( \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} = \dfrac{\log_{10} x}{\log_{10} a} \)	\( \ln x = 2.303\,\log_{10} x \)
直線化	\( y=Ae^{kx}\Rightarrow \ln y = kx+\ln A;\ \ y=ax^{n}\Rightarrow \log y = n\log x + \log a \)	片対数／両対数で直線

対数の引数は正で無次元が原則。濃度や速度定数に対数をとる場合、文献・授業の規約に従い、必要なら基準量で割って無次元化します。

指数 \(y=Ae^{kx}\) と対数 \(y=a\ln x + b\) を同一グラフに描画。y軸を log10 に切替えると指数が直線状に見えます。

A k 表示

a b 表示

x_min x_max yスケールグリッド

ログ軸にする場合、x・y は正の値である必要があります（\(\ln\) は \(x>0\)）。

\([A](t)=[A]_0 e^{-kt}\)（式(1)の減衰形）。半減期は \(t_{1/2}=\ln 2 / k\)。単位は \(k:\mathrm{s^{-1}}\)、\([A]:\mathrm{M}\) など。

k [s⁻¹] t_1/2 [s] [A]₀ [M] t [s]

–

式：\(t_{1/2}=\ln 2 / k\)、\([A](t)=[A]_0 e^{-k t}\)、\(\ln [A]= -kt + \ln [A]_0\)。

pH は \(\mathrm{pH}=-\log_{10}[H^+]\)。吸光度は \(A=-\log_{10}T\)（\(T=I/I_0\)）。ログの底の変換は表の式を参照。

pH ツール [H⁺] [M] pH

底の変換 x（>0）底 a（>0,≠1）

吸光度 A と透過率 T T（% または 0–1） A

注意：\(\mathrm{pH}=-\log_{10}[H^+]\)、\(A=-\log_{10}T\)。

温度は絶対温度 \(T[\mathrm{K}]\) を用います（℃のまま使わない）。

T₁ [K] k₁ [任意単位] T₂ [K] k₂ [同じ単位]

–

式：\(\ln(k_2/k_1) = -E_a/R \,(1/T_2 - 1/T_1),\quad A \approx k_1 e^{E_a/(R T_1)}\)。