このページのねらい
化学では、物質収支の同時解、拡散・伝熱の差分化、回帰の正規方程式など、あらゆる場面で A x = b（連立一次方程式） が現れます。このページでは 直接法（ガウス消去／LU）と 反復法（Jacobi／Gauss–Seidel／SOR）を、 収束挙動・残差を見ながら体感し、1D拡散の三重対角（トーマス法）もあわせて確認します。
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基本：方法の選び方
| 分類 | 代表法 | 長所 | 注意点 | 化学の例 |
|---|---|---|---|---|
| 直接法 | ガウス消去（部分ピボット）／LU分解 | 有限回で解。小〜中規模で堅牢 | メモリ O(n²)・時間 O(n³) | 物質収支 10×10 程度、検量線の正規方程式 |
| 反復法 | Jacobi, Gauss–Seidel, SOR(ω) | 疎行列・大規模で有利 | 収束条件（対角優勢・スペクトル半径）に依存 | 差分離散化（拡散・熱）の大型系 |
| 構造利用 | 三重対角（Thomas 法） | O(n) で高速・省メモリ | バンド構造が必要 | 1D 拡散の定常方程式 |
収束判定には通常 ‖r‖∞ / (‖b‖∞+1) < ε を用います（r=b−Ax）。
ソルバ実験室（直接法 & 反復法）
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解ベクトル x と指標
Hilbert は病的（条件数が非常に大きい）なので、丸め誤差の影響が顕著に出ます。
1D 拡散の定常（−c''=q）：三重対角（Thomas 法）
区間 [0,1]、境界 c(0)=c_L, c(1)=c_R。中央差分で
−c_{i−1}+2c_i−c_{i+1}=h² q（h=1/(n+1)）。
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三重対角は O(n) の Thomas 法で高速に解けます（ガウス消去より格段に軽い）。
練習問題（クリックで採点）
- Q1：Gauss–Seidel が収束しやすい十分条件の1つは？（語：対角優勢）
- Q2：SOR の緩和係数 ω はどの範囲？（答：0<ω<2）
- Q3：三重対角を O(n) で解く代表法は？（語：Thomas）
- Q4：残差
r=b−Axが十分小さいなら、解は（近い / 遠い）？ - Q5：Hilbert 行列は条件数が（小さい / 大きい）？
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