このページのねらい
数値積分は、解析的に積分できない関数の面積を近似する技法です。 化学では ピーク面積（吸光・クロマトグラム）、分配関数の近似、 反応熱の評価 などに直結します。ここでは 台形則・中点則・シンプソン則と自動適応（Adaptive Simpson）を比較し、 収束オーダと誤差の振る舞いを体感します。
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数値積分の基本
| 手法 | 公式（区間幅 h） | 収束オーダ | 特徴 |
|---|---|---|---|
| 中点則 | \int f ≈ \sum f(x_{i+1/2})\,h |
O(h²) | 単純・安定。奇関数の誤差に強いことも |
| 台形則 | \int f ≈ \sum \tfrac{f_i+f_{i+1}}{2}\,h |
O(h²) | 不等間隔データにも拡張容易 |
| シンプソン則 | \int f ≈ \sum \tfrac{f_{2i}+4f_{2i+1}+f_{2i+2}}{6}\,h |
O(h⁴) | 偶数分割が必要。滑らかな関数に高精度 |
| 適応型（Adaptive Simpson） | 局所誤差で区間分割を自動調整 | 関数に応じて効率化 | ピークや急峻部でメッシュ自動微細化 |
積分プレイグラウンド（関数/区間/精度の比較）
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結果（値・誤差・関数評価回数）
真値は高精度の 適応シンプソン（厳しめの ε）で近似しています。シンプソン則は偶数分割に自動調整します。
化学例：ピーク面積（ガウス＋ベースライン）
スペクトル強度を f(x)=c_0 + A\,\exp\{-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\} とし、ベースライン c₀ を差し引いた面積を求めます。
真の面積は A\,\sigma\sqrt{2\pi}。
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ベースラインを引いた面積：\int_{\mu-W}^{\mu+W} (f(x)-c_0)\,dx。W を大きくすると真値に近づきます（数値は台形則）。
不等間隔データの台形則
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x で昇順ソートし、区間ごとに (y_i+y_{i+1})/2 · (x_{i+1}-x_i) を足し合わせます。
練習問題（クリックで採点）
- Q1：
\int_0^1 x^2 dxの値は？ - Q2：
\int_0^\pi \sin x\,dxの値は？ - Q3：O(h⁴) の精度をもつのはどの手法？（語：シンプソン）
- Q4：台形則で分割数 N を 2倍にすると、誤差は概ね何倍？
- Q5：Adaptive Simpson は曲がりが大きい部分を自動的に細かく分割する（はい/いいえ）