このページのねらい
実験データは「ばらつき」を伴います。確率分布を理解すると、 測定の不確かさ、検出限界や誤警報、平均化の効果が定量化できます。 ここでは代表的な分布の形・母数・平均/分散を可視化し、サンプルからの推定、 そして中心極限定理や閾値の誤警報率を直感的に確認します。
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代表的な確率分布（要点）
| 分布 | 母数 | サポート | 平均 | 分散 | 化学の例 |
|---|---|---|---|---|---|
| 正規 N(μ,σ²) | μ, σ>0 | ℝ | μ | σ² | 計測誤差、試料間ばらつき |
| 対数正規 LogN(μln,σln²) | μln, σln>0 | x>0 | exp(μln+σln²/2) | (e^{σln²}-1)e^{2μln+σln²} | 濃度・粒径など正値データ |
| 指数 Exp(λ) | λ>0 | x≥0 | 1/λ | 1/λ² | 待ち時間、寿命 |
| ポアソン Poi(λ) | λ>0 | k=0,1,2,… | λ | λ | 計数（光子・カウント） |
| 二項 Bin(n,p) | n∈ℕ, 0≤p≤1 | k=0,…,n | np | np(1-p) | 合否試験、合格品数 |
対数正規の母数（μln,σln）は ln X の平均と標準偏差です。
分布ビューア（形・サンプル・推定）
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「推定」は MLE（正規: μ̂,σ̂、指数: λ̂=1/平均、対数正規: lnX の平均・分散、ポアソン: λ̂=平均、二項: p̂=平均/n）。
適合度の参考に Kolmogorov–Smirnov の距離 D を表示（離散分布でも便宜的に評価）。
中心極限定理（標本平均はほぼ正規に）
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平均は μ、分散は σ²/n に近づきます（ただし極端な重尾分布では収束が遅い/定義不能）。
閾値と誤警報率（正規近似）
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例：片側 3σ の誤警報率は約 0.135%（両側で約 0.27%）。
練習問題（クリックで採点）
- Q1：ポアソン分布の平均と分散はともに？（答：λ）
- Q2：対数正規分布のサポートは正か負か？（答：正のみ）
- Q3：指数分布は無記憶性を持つ（はい/いいえ）
- Q4：標本平均の分散は母分散 σ² の（?）倍か？（答：1/n）
- Q5：片側 3σ の誤警報率は約（?）%？（答：0.135）