このページのねらい
ラプラス変換は、時間関数を複素数変数 s の関数に写し、初期値問題や
線形系の応答を代数的に解くための道具です。化学では
反応速度の緩和、物質移動・伝熱の入出力応答、
制御（CSTR/温度制御など）の伝達関数に直結します。
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ラプラス変換の基本
| 項目 | 式 | ポイント |
|---|---|---|
| 定義 | \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt |
逆変換：f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}（Bromwich など） |
| 線形性 | a f + b g \;\Longleftrightarrow\; aF + bG |
重ね合わせで扱える |
| 時間微分 | \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^+) |
初期値が登場するのが最大の利点 |
| シフト | f(t-t_0)u(t-t_0) \;\Longleftrightarrow\; e^{-s t_0}F(s) |
ステップ加熱・パルス注入の記述 |
| 畳み込み | (f*g)(t) \;\Longleftrightarrow\; F(s)G(s) |
インパルス応答と入出力 |
| 代表例 |
\mathcal{L}\{1\}=1/s，
\mathcal{L}\{t\}=1/s^2，
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}=1/(s+a)\mathcal{L}\{\sin bt\}=b/(s^2+b^2)，
\mathcal{L}\{\cos bt\}=s/(s^2+b^2)，
\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1
|
極（pole）と零点（zero）の位置が重要 |
数値で見るラプラス変換：F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt
有限上限 T_{\max} まで台形公式で近似し、F(s) を
実軸上（s>0）で描きます。理論式を灰色点線で重ねます。
—
数値誤差は T_{\max} の切断と刻み幅に依存します。s が小さいほど大きめの T_{\max} が必要。
伝達関数とステップ応答（極・零点の直観）
—
極が左半平面にあれば安定。2次系の減衰比 ζ が小さいほどオーバーシュートが大きくなります。
練習問題（クリックで採点）
- Q1：
\mathcal{L}\{1\}(s)をs=5で評価すると？ - Q2：
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)をs=4で評価すると？ - Q3：
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)をs=5で評価すると？ - Q4：微分方程式
y'+2y=4, y(0)=0の定常値y(\infty)は？ - Q5：
G(s)=1/(4s+1)の極は？（数値）