このページのねらい
フーリエ変換は、信号（時間・空間関数）を周波数（波数）領域へ写す道具です。 化学では 分光法（IR・ラマン・NMR の周波数解析）、 拡散の k 空間解（\( e^{-Dk^2 t} \)）、 画像・信号処理（フィルタリング） に直結します。 このページでは 定義と性質、離散変換（DFT/FFT）、 窓関数とエイリアシング、周波数フィルタ、 拡散方程式の k 空間解 をミニツールで体感します。
※ このページは「大学で化学を学ぶための数学」を補う 参考書的な解説ページです。数学としての厳密な証明よりも、 「化学でフーリエ変換をどう使うか」「式の各記号・単位が何を表すか」を 直感的に理解することを目的としています。
フーリエ変換の基本
ここでは「時間 \( t \) [s]」を入力、「角周波数 \( \omega \) [rad/s]」を出力とする フーリエ変換を用います。信号の「形」を、その中に含まれる周波数成分の 「強さ」と「位相」に分解する操作だと思ってください。
| 項目 | 式（角周波数 \( \omega \)） | ポイント | 化学での例 |
|---|---|---|---|
| 定義 | \[ \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt \] \[ f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega \] |
時間領域の信号 \( f(t) \) を周波数領域のスペクトル
\( F(\omega) \) に写す写像。 \( t \)：時間 [s]、\( \omega \)：角周波数 [rad/s] で、 互いにフーリエ双対の関係にあります。 |
IR・ラマン・NMR のスペクトル密度 |
| 線形性・時間シフト | 線形性： \[ \mathcal{F}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(\omega) + b G(\omega) \] 時間シフト： \[ f(t - t_0) \;\leftrightarrow\; e^{-i\omega t_0} F(\omega) \] |
和は和に、定数倍は定数倍に写る（線形）。 時間シフトは周波数領域で位相因子 \( e^{-i\omega t_0} \) として現れます。 |
信号の位相補正、時間原点のずれの補正 |
| 畳み込み | \[ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau \] \[ \mathcal{F}\{(f * g)(t)\} = F(\omega)\,G(\omega) \] | 時間領域の「平滑化」や「フィルタ」は、 周波数領域では単なる掛け算になります。 | ノイズ除去、分解能とノイズのトレードオフ解析 |
| パーセバルの定理 | \[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2\,d\omega \] | 時間領域と周波数領域で エネルギー（パワー）が等しいことを表します。 | 信号パワー、S/N 比の評価 |
| DFT（離散） | \[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-i 2\pi nk/N}, \quad k = 0,1,\dots,N-1 \] |
サンプル列 \( x[n] \) から、
周波数ビン \( k \) ごとのスペクトル \( X[k] \) を計算します。 実装では FFT を用いると \( N = 2^m \) のとき特に高速です。 |
数値分光データ、NMR 生データの処理 |
・\( t \)：[s]（時間）、\( f(t) \)：時間領域の信号
・\( \omega \)：[rad/s]（角周波数）、\( F(\omega) \)：周波数スペクトル
・\( x[n] \)：時刻 \( n/f_s \) でサンプリングした値（\( n = 0,\dots,N-1 \)）
・\( X[k] \)：離散周波数ビン \( k \) の複素スペクトル
・エネルギー \( \int |f|^2 dt \) は、化学ではピーク面積や吸収エネルギーの評価と結びつきます。
DFT/FFT エクスプローラ（窓関数・エイリアシング）
ここでは、時間間隔 \( 1/f_s \) ごとにサンプリングした
データ列 \( x[n] \)（\( n = 0,\dots,N-1 \)）から、
離散フーリエ変換（DFT）を計算してスペクトル \( X[k] \) を描きます。
・fs：サンプリング周波数 \( f_s \) [Hz]
・N：サンプル点数（周波数分解能は
\( \Delta f = f_s/N \)）
・窓関数：有限長データの「端」をなめらかにして、
サイドローブ（にじみ）を抑えるために使います。
1 側スペクトル（0 ～ \( f_s/2 \)）を振幅スケールで表示しています。
窓のコヒーレント利得で補正し、DC と Nyquist を除く各ビンは ×2 しています。
信号の最高周波数 \( f_{\max} \) を
\( f_{\max} > f_s/2 \) に設定すると、
サンプリング定理を破るため
エイリアシング（折り返し）が観察できます。
周波数フィルタ（ガウシアン Low-pass）
カットオフ周波数 \( f_c \) [Hz] より高い成分をなめらかに削る
ガウシアン型ローパスフィルタを使っています。
周波数領域でフィルタ関数 \( H(f) \) を掛け算することは、
時間領域で信号を「ぼかす（畳み込み）」ことに対応します。
ガウシアン特性のローパスフィルタ \( H(f) \) を周波数領域で掛け算することで、 時間領域では信号が平滑化されます（畳み込みによるぼかし効果）。
拡散方程式をフーリエで解く（k 空間）
・\( u(x,t) \)：濃度や温度などの分布
・\( D \)：拡散係数 [m\(^2\)/s]（物質ごとに決まる）
・\( L \)：系の長さ [m]、\( k \)：波数 [1/m]
スライダーで時間 \( t \) を動かすと、
高波数モードほど \( e^{-Dk^2 t} \) により速く消えていき、
分布がなめらかになっていく様子が確認できます。
高波数（\(|k|\) が大きい）ほど \( e^{-Dk^2 t} \) で速く減衰し、分布は時間とともに滑らかになります。
練習問題（クリックで採点）
ここまでに出てきたフーリエ変換の性質・DFT の基本量・エイリアシング条件・
拡散方程式のモード減衰について、要点を確認する小テストです。
式の意味が思い出せないときは、上の表や解説ボックスを見直しながら解いてみてください。
- Q1：連続フーリエ変換で、時間シフト \( f(t - t_0) \) は周波数領域でどう表れる？
- Q2：DFT でサンプリング周波数 \( f_s \) [Hz]、点数 \( N \) のとき、 周波数分解能は？（Hz）
- Q3：折り返し（エイリアシング）を避ける条件は \( f_{\max} \le ? \)
- Q4：畳み込みは周波数領域で何に対応？
- Q5：拡散方程式のモード減衰は \( e^{-Dk^2 t} \)。\( D = 0.01 \)、\( k = 20\pi \) のとき、 指数の係数は？（\(-?\)）