このページの使い方（参考書）
定義（区間 \\([-L,L]\\)、周期 \\(2L\\)）
\[
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(
a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L}
\Bigr) \tag{1}
\]
意味：\\(f\\) を正弦・余弦の和で近似／表現します。基本角周波数は \\(\omega_0=\pi/L=2\pi/T\\)（\\(T=2L\\)）。
単位：\\(f\\) と \\(a_0,a_n,b_n\\) の単位は同じ。\\(\cos,\sin\\) は無次元、\\(x\\) はしばしば時間 [s] や位置 [m]。
\[
a_0=\frac{1}{L}\!\int_{-L}^{L} f(x)\,dx,\quad
a_n=\frac{1}{L}\!\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\quad
b_n=\frac{1}{L}\!\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx \tag{2}
\]
計算：被積分関数の単位×dx の単位＝係数の単位（= \\(f\\) の単位）。
偶奇性で簡略化：\\(f\\) が偶関数なら \\(b_n=0\\)、奇関数なら \\(a_0=a_n=0\\)。
直交性とパーセヴァルの等式
\[
\int_{-L}^{L}\!\cos\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{m\pi x}{L}\,dx=
\begin{cases}
0 & (n\ne m),\\
L & (n=m\ne0),
\end{cases}\quad
\int_{-L}^{L}\!\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi x}{L}\,dx=
\begin{cases}
0 & (n\ne m),\\
L & (n=m),
\end{cases}
\]
\[
\frac{1}{L}\!\int_{-L}^{L}\!|f(x)|^2\,dx
= \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^2 + b_n^2\bigr) \tag{3}
\]
意味：波形エネルギー（左辺）が係数の二乗和（右辺）に等しい（規格化に注意）。
ギブズ現象：不連続点付近では部分和がオーバーシュート（約9%）しますが、区間は狭くなります。
部分和で見るフーリエ級数（可視化ツール）
基本波形（正弦方形波/のこぎり/三角）を選び、半周期 \\(L\\)、振幅 \\(A\\)、項数 \\(N\\) を指定すると、 \\(a_0,a_n,b_n\\) を数値積分で求め、元の関数と部分和 \\(S_N\\) を重ねて表示します。
係数（上位 10 項まで）
—
単位：\\(x\\) が時間 [s] なら \\(\\omega_0=\\pi/L\\) [rad·s⁻¹]、周波数 \\(f_0=1/T=1/(2L)\\) [Hz]。
偶奇性と係数の消滅
- 偶関数（例：三角波の原型）では
sinが奇なのでbn=0。 - 奇関数（例：方形波・のこぎり）では
a0=an=0。 - 半波・四分の一周期対称なども係数のパターンを簡略化します。
練習問題（クリックで採点）
- \\(f\\) が奇関数のとき、0 になる係数は？（カンマ区切り）
- 方形波（振幅 \\(A=1\\)、奇関数）の係数は \\(b_n=\\tfrac{4}{n\\pi}\\)（\\(n\\) 奇数）、\\(b_n=0\\)（\\(n\\) 偶数）。\\(n=1\\) の値は？
- \\(T=0.020\\) s の基本周波数と角周波数は？（カンマ区切り、Hz と rad·s⁻¹）