このページの使い方（参考書）
初期条件（Initial Condition; IC）
\[
\text{（1階の時間依存PDE）}\quad u(x,0)=f(x) \tag{IC-1}
\]
意味：時間 t=0 における場の初期分布を与えます。
単位： u の単位（例：温度なら K、濃度なら M）。x は長さ [m]、t は時間 [s]。
例： 熱方程式で「棒の温度分布」、拡散方程式で「濃度分布」など。
\[
\text{（2階の時間依存PDE）}\quad
u(x,0)=f(x),\qquad u_t(x,0)=g(x) \tag{IC-2}
\]
意味：波動方程式のように、初期形状と初期速度の2つが必要になります。
単位： u_t は u の単位／s（例：温度/秒、変位/秒）。
境界条件（Boundary Condition; BC）
| 種別 | 代表式 | 物理的意味 | 単位の目安 |
|---|---|---|---|
| Dirichlet（値指定） | \(u(0,t)=U_0,\ \ u(L,t)=U_L\) | 端で値を固定（温度・濃度などの「拘束」） | \(u\) と同じ（例：K、M） |
| Neumann（勾配指定） | \(u_x(0,t)=g_0,\ \ u_x(L,t)=g_L\) | フラックス（熱流・物質流）を与える／ゼロで断熱・不透過 | \(u\)/m（例：K·m\(^{-1}\)） |
| Robin（混合） | \(-k\,u_x(0,t)=h\{u(0,t)-u_\infty\}\) | 表面で周囲と交換（対流伝熱・膜透過） | 左辺＝右辺＝フラックスの単位 |
| Periodic（周期） | \(u(0,t)=u(L,t),\ \ u_x(0,t)=u_x(L,t)\) | リング状・周期境界 | \(u\)、\(u\)/m |
1次元・2階の空間微分を含むPDEでは、原則として両端で合計2条件が必要です（2Dなら境界全体で2条件に相当）。
代表的なPDEと意味・単位
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{H}
\]
意味：温度/濃度が拡がる（平滑化される）現象。
単位： \(\alpha\) は拡散係数 [m\(^2\)/s]。u は温度[K]や濃度[M]。
典型BC：Dirichlet（端温度固定）、Neumann（断熱/不透過）、Robin（熱交換）。
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{W}
\]
意味：弦振動・音波などの伝播。
単位： \(c\) は波の速さ [m/s]。ICは2つ必要（形状と速度）。
\[
-\frac{d^2 u}{dx^2}=f(x) \tag{P}
\]
意味：定常の熱/拡散（発熱・生成を含む）や静電ポテンシャル。
境界：2条件（例：Dirichlet×2、あるいはDirichlet＋Neumann）。
「いくつ条件が要るか？」の目安
| 時間の階数 | 必要なIC | 空間の階数（1D） | 必要なBC |
|---|---|---|---|
| 1階（例：熱方程式） | 1つ：\(u(x,0)\) | 2階 | 2つ（両端で1つずつ） |
| 2階（例：波動方程式） | 2つ：\(u(x,0),\ u_t(x,0)\) | 2階 | 2つ（両端で1つずつ） |
多次元でも同様の考え方で、境界全体に対して適切な条件数が必要です。
BC/IC チェック & テンプレ生成
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生成された条件（コピー可）
Robin例： \(-k\,u_x(0,t)=h\{u(0,t)-u_\infty\}\)。係数 k [W·m\(^{-1}\)·K\(^{-1}\)]、h [W·m\(^{-2}\)·K\(^{-1}\)]。
練習問題（クリックで採点）
- 熱方程式 \(u_t=\alpha u_{xx}\)（区間 \(0\le x\le L\)）。必要な境界条件の個数は？
- 波動方程式 \(u_{tt}=c^2 u_{xx}\) の初期条件は何個必要？（種類も）
- 断熱端はどのBC？
- Robin条件の物理的意味を一言で。