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PDE の基本（分類・役割）
| 型 | 代表的な式 | 主な意味 | 化学での例 |
|---|---|---|---|
| 拡散型（放物型） | \( u_t = \alpha\,u_{xx} \)（1D 熱/拡散方程式） | 平滑化・広がり（濃度・温度の拡散） | Fick 拡散、熱伝導、濃度プロファイル |
| 波動型（双曲型） | \( u_{tt} = c^2 u_{xx} \) | 情報の有限速度伝播 | 弾性・振動、分光器の機械振動 |
| 静電位（楕円型） | \( \nabla^2 \phi = 0 \)（Laplace）／ \( \nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon \)（Poisson） | 空間分布の平衡 | 電位場、定常温度場 |
| 一次式の移流 | \( u_t + c\,u_x = 0 \) | 形を保って移動 | 流れ場に乗る濃度フロント |
BC/IC を明示しないと解は一意に定まりません。物理量の単位（例：\(\alpha\) は m^2·s^{-1}）に注意。
式カード（クリックで拡大）
意味：時間微分 \(u_t\) が空間2階微分 \(u_{xx}\) に比例。凸部が下がり、凹部が上がる（平滑化）。
解の概形： 分離定数で \(u(x,t)=\sum b_n \sin\!\big(\frac{n\pi x}{L}\big)\,e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}\)。
単位： \(\alpha\)：拡散（熱）係数 \(m^2\,s^{-1}\)。
意味：情報が速度 \(c\) で伝播。境界で反射・干渉。
解の概形： 直交固有関数の重ね合わせ（正弦モード）。
意味：定常場の空間分布。境界値が内部を決める。
注意：境界条件の与え方（Dirichlet/Neumann/Robin）で解の性質が変わる。
操作ヒント：式カードはクリック/Enterで拡大表示（数式をさらに大きく）できます。
拡散の可視化（1D 熱方程式：FTCS 显式差分）
区間 \([0,L]\) における Dirichlet 境界（両端 0）で、初期分布からの拡散をヒートマップで表示します。 安定条件 \(r=\alpha\,\Delta t/\Delta x^2 \le 1/2\) を満たすように設定してください。
数値スキーム：FTCS（内部点 \(u_i^{n+1}=u_i^n+r(u_{i-1}^n-2u_i^n+u_{i+1}^n)\)）。安定条件 \(r\le 1/2\)。
移流（輸送）\(u_t + c\,u_x = 0\) の可視化
形を保って速度 \(c\) で移動する一次 PDE の代表。Upwind 差分を用い、CFL 条件 \(|c|\Delta t/\Delta x \le 1\) を満たす設定を推奨します。 ここでは周期境界を採用しています。
スキーム（c>0）：\(u_i^{n+1}=u_i^n-\lambda(u_i^n-u_{i-1}^n)\)、\(\lambda=c\Delta t/\Delta x\)。c<0 のときは下流側で差分。
ラプラス方程式 \(\nabla^2\phi=0\)（2D, Dirichlet）：Jacobi 反復
境界値から内部を補間する代表例。境界（上下左右）に値を与え、内部を反復で更新します（\(\phi_{i,j}\leftarrow\frac14(\phi_{i+1,j}+\phi_{i-1,j}+\phi_{i,j+1}+\phi_{i,j-1})\)）。 物理的には、定常の拡散・電位などの分布に対応します。
練習問題（クリックで採点）
- 拡散：FTCS の安定条件は \(r=\alpha\Delta t/\Delta x^2\) がいくつ以下？
- 移流：CFL 条件は \(|c|\Delta t/\Delta x\le\ ?\)
- ラプラス：内部更新 \(\phi_{i,j}\leftarrow\frac14(\cdots)\) は（a）陽解法（b）陰解法（c）反復型いずれ？