このページの使い方（参考書）
まず“式カード”で要点をつかむ
意味： 変数分離で両辺を積分。例：一次反応 \( \dfrac{d[A]}{dt}=-k[A] \Rightarrow [A](t)=[A]_0 e^{-kt} \)。
単位： \(\dfrac{dy}{dx}\) の単位は y の単位／x の単位。例：\([A]\) が M、\(t\) が s なら \(\mathrm{M\,s^{-1}}\)。
計算： 原始関数がとれない場合は数値積分（本ページの傾き場トレーサを利用）。
意味： 〈積分因子〉\(\mu(x)\) で左辺を積の微分に直す手法。
単位： \(\int p(x)\,dx\) は無次元でなければ指数の中に入れません（次元解析の最重要チェック）。
計算： \(p,q\) が定数や単純関数なら解析解、一般には数値解（下のツールで RK4）。
意味： 根 \(r_{1,2}\) により (i) 重解：\(y=(C_1 + C_2 x)e^{rx}\)、 (ii) 実数異なる二解：\(y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}\)、 (iii) 複素共役：\(y=e^{\alpha x}[C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x]\)。
単位： \(x\) が時間なら \(a\) の単位は \(\mathrm{s^{-1}}\)、\(b\) は \(\mathrm{s^{-2}}\)。
計算： 初期条件 \(y(0),y'(0)\) から \(C_1,C_2\) を決められます（下のソルバ参照）。
操作のヒント：上の式カードはクリック/Enterで拡大表示できます。
基本の整理（化学での出現例つき）
| 型 | 方程式 | 代表例（化学） | メモ |
|---|---|---|---|
| 分離形 | \(y' = g(x)h(y)\) | 一次反応、成長/減衰 | 両辺を積分して解く |
| 一次線形 | \(y' + p(x)y = q(x)\) | 洗い流し型の物質収支、RC 応答 | 積分因子 \(\mu=e^{\int p}\) |
| 定数係数 2 階 | \(y'' + a y' + b y = 0\) | 振動・緩和、線形近似 | 特性方程式で分類 |
次元解析：指数・三角の引数は無次元。導関数の単位は「上の量 / 下の量」。この 2 点を常に確認しましょう。
傾き場（Slope Field）と IVP 解のトレーサ
関数 \(f(x,y)=\dfrac{dy}{dx}\) を選び、初期値 \(x_0,y_0\) と範囲を指定すると、傾き場と数値解（RK4）を重ねて表示します。
数値解は 4 次のルンゲ＝クッタ（RK4）。時間刻みは内部で自動設定（レンジから等間隔）。
定数係数 2 階線形 ODE：特性方程式ソルバ
方程式 \(y'' + a y' + b y = 0\)。初期条件 \(y(0)=y_0,\, y'(0)=v_0\) を指定すると、一般解の形とグラフを表示します。
練習問題（クリックで採点）
- \(y' = 0.5\,y\), \(y(0)=2\)。\(x=1\) のとき \(y(1)\) は？ （正解は \(2e^{0.5}\)）
- \(y' + y = 1\), \(y(0)=0\)。定常解と \(x=2\) での値は？（カンマ区切り） 定常解 \(y_\infty=1\)。
- \(y'' + 2y' + y = 0\)。一般解の型は？（選択）