線形変換

～Chem Atlas～

このページの使い方（参考書）

まず“式カード”で要点をつかむ

\[ T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \ \text{が線形} \iff \ T(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y})=\alpha T(\mathbf{x})+\beta T(\mathbf{y}) \] \[ \text{（行列表現）}\quad \mathbf{y}=A\,\mathbf{x} \]

意味：「加法とスカラー倍を保つ写像」。座標で書けばベクトルに行列 \(A\) を掛ける操作。

単位： \(A\) はしばしば無次元ですが、単位の違う軸間を写す場合は 対角成分に換算係数が乗ります（例：nm→m）。

\[ \text{面積倍率} = |\det A| \quad (\text{符号は向きの保存/反転}) \]

意味：2D なら単位正方形の像の面積が \(|\det A|\)。3D なら体積倍率。

化学で：変数変換（例えば (x,y)\to(u,v)）でヤコビアン \(|\det(\partial(x,y)/\partial(u,v))|\) が密度の重みになります。

\[ (AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x}),\qquad \det(AB)=\det A\cdot \det B \] \[ \det A\neq 0 \Rightarrow A^{-1} \ \text{が存在},\quad A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \]

意味：順序が重要（一般に AB≠BA）。\(\det A\neq 0\) なら可逆。

化学で：主成分分析（PCA）の回転・スケーリング、正規モード解析（直交変換）などで固有分解が登場。

\[ [T]_B = P^{-1}\,[T]_E\,P,\qquad [\mathbf{x}]_E = P\,[\mathbf{x}]_B \]

意味：基底 \(B\) の座標における表現へ写す式。\(P\) の列は新基底ベクトル。

注意：単位やスケールの異なる軸にまたがるときは、基底の取り方と単位換算を混同しないこと。

操作のヒント：式カードはクリック/Enterで拡大できます（数式をさらに大きく表示）。

線形変換ビジュアライザ（2×2 行列）

行列 \(A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\) を入力すると、基底ベクトルの像、単位正方形の像（面積倍率 \(|\det A|\)）、任意ベクトルの像を描きます。

A = [[a,b],[c,d]]
ベクトル \(\mathbf{x}\)
表示範囲
–

判定：\(|\det A|>1\) 拡大、\(|\det A|<1\) 縮小、\(\det A<0\) 反転（向き反転）。実固有値があれば固有ベクトル方向も表示。

合成（順序）の影響：\(AB\) と \(BA\)

二つの行列 \(A,B\) を与えると、\(AB\) と \(BA\) を計算して違いを表示します。一般に \(AB\neq BA\)。

A

B

–

参考：\(\det(AB)=\det A\cdot\det B\)、\(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\)。

基底変換：\([\cdot]_E \leftrightarrow [\cdot]_B\)、\([T]_B=P^{-1}[T]_E P\)

基底 \(B=\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}\)（列ベクトルを並べた行列 \(P=[\mathbf{b}_1\,\mathbf{b}_2]\)）を入力し、座標や作用素の表現を変換します。

基底 B（列）
ベクトル座標
[T]_E（2×2）
–

新基底の列ベクトルを並べた行列 \(P\) が正則（\(\det P\neq 0\)）なら、\([T]_B=P^{-1}[T]_E P\)、\([\mathbf{x}]_E=P[\mathbf{x}]_B\)。

練習問題（クリックで採点）

  1. \(A=\begin{bmatrix}2 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}\)。\(\det A\) と 面積倍率は？（カンマで回答）　
  2. \(A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\) は何度回転？向きは？（度, 向き）　
  3. \(A=\begin{bmatrix}3 & 0\\ 0 & 1/3\end{bmatrix}\)。\(\mathbf{x}=(1,2)\) の像は？（カンマで回答）　
  4. \(A=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 1 & 1\end{bmatrix}\)。\(\det(AB)\) と \(\det(BA)\) は？（カンマで回答）　
  5. \(P=\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}\)（\(\det P=1\)）。\([T]_E=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\)。\([T]_B\) の \((1,1)\) 成分は？