このページの使い方（参考書）
まず“式カード”で要点をつかむ
\[
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \quad (\mathbf{v}\neq \mathbf{0}) \tag{1}
\]
意味：線形変換 \(A\) が向きを変えないベクトル \(\mathbf{v}\) を、倍率 \(\lambda\) だけ伸縮します。
固有方程式：\(\det(A-\lambda I)=0\) を満たす \(\lambda\) を求めます。
\[
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
\ \Rightarrow\
\lambda=\frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2-4\det A}}{2} \tag{2}
\]
検算：\(\sum \lambda_i=\operatorname{tr}A=a+d\)、\(\prod \lambda_i=\det A=ad-bc\)。
判定：判別式 \((\operatorname{tr}A)^2-4\det A\) が負なら固有値は複素数（回転など）。
固有値・固有ベクトルの基本
| 項目 | 式 | ポイント | 化学での例 |
|---|---|---|---|
| 定義 | \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) | 方向は変えず倍率のみ変化 | 正規座標・主慣性軸 |
| 固有方程式 | \(\det(A-\lambda I)=0\) | 次数 \(n\) の多項式 | 2×2 は解析解あり |
| 検算 | \(\mathrm{tr}A=\sum\lambda_i,\ \det A=\prod\lambda_i\) | 誤入力・丸めのチェック | 保存量の直観 |
| 対称行列 | \(A=A^\mathsf{T}\) | 固有値は実、固有ベクトルは直交 | Hessian・慣性テンソル |
2×2 固有値・固有ベクトル（解析式ソルバ）
行列 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) を入力すると、解析式で \(\lambda\) を求め、実固有値なら固有ベクトルも表示します（正規化済）。
結果
–
式：\(\lambda=\dfrac{\mathrm{tr}A \pm \sqrt{(\mathrm{tr}A)^2-4\det A}}{2}\)。 実数なら \((A-\lambda I)\mathbf{v}=0\) から \(\mathbf{v}\) を求め、長さ 1 に正規化して表示します。
練習問題（クリックで採点）
- Q1：\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) の固有値（小さい順）を入力（カンマ区切り）。
- Q2：Q1 の \(\lambda=3\) に対する固有ベクトルの一例（カンマ区切り、比例は可）。
- Q3：\(R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) の固有値は実数？（はい / いいえ）
- Q4：\(A=\mathrm{diag}(4,2)\)。\(\sum\lambda_i, \prod\lambda_i\) を入力（カンマ区切り）。
- Q5：\(A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\) の最大固有値は？