大学で化学を学ぶための数学｜行列

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\[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj} \quad (A:\,m\times n,\; B:\,n\times p,\; AB:\,m\times p) \tag{1} \]

意味： 行列積は「行×列」の内積。内積の積み上げで成分が決まります。

次元合わせ： 左の列数 = 右の行数（n）が一致して初めて定義できます。

単位： 成分 A_{ik} の単位 × B_{kj} の単位 → (AB)_{ij} の単位。

\[ \det\!\begin{pmatrix} a & b \\[2pt] c & d \end{pmatrix} = ad - bc \tag{2} \]

意味： 面積（2次元）や体積（高次元）スケールの倍率に相当。\(\det A=0\) なら“つぶれて”逆行列は存在しません。

単位： 行・列に同種の単位が並ぶとき、行列式はその単位の次元数倍（2×2 なら 2 乗）になります。

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\[2pt] -c & a \end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix} \tag{3} \]

条件： \(\det A \ne 0\)。逆行列は「元に戻す作用」。単位は 1/(\det A) が係る点に注意。

\[ \hat{\boldsymbol{\beta}} = (X^\mathsf{T}X)^{-1} X^\mathsf{T}\boldsymbol{y} \tag{4} \]

意味： 線形回帰の解。化学では Beer–Lambert の校正直線や多変量解析の基礎として頻出。

単位： y の単位を X の列の単位で割ったものが β の単位になります（切片列は無次元）。

\[ \frac{d\boldsymbol{C}}{dt} = N\,\boldsymbol{v} \tag{5} \]

意味： 濃度ベクトル \(\boldsymbol{C}\) の時間変化は、化学量論行列 \(N\) と速度ベクトル \(\boldsymbol{v}\) の積で表現。

単位： v が mol·L⁻¹·s⁻¹ なら、dC/dt も同じ単位になります（N は無次元）。

操作のヒント： 式カードはクリック/Enterで拡大表示できます（数式をさらに大きく）。

項目	式・定義	ポイント
加法・実数倍	\(A+B=(a_{ij}+b_{ij})\)、\(\;cA=(ca_{ij})\)	同じサイズのみ可。線形性。
積の定義	\((AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}\)	\(A:\,m\times n,\;B:\,n\times p\)。次元合わせに注意。
単位行列	\(I_n\)（対角1）	\(AI_n=I_mA=A\)。
転置	\((A^\mathsf{T})_{ij}=a_{ji}\)	\((AB)^\mathsf{T}=B^\mathsf{T}A^\mathsf{T}\)。
逆行列	\(AA^{-1}=I\)	正方・正則（\(\det A\ne0\)）。
行列式	\(\det(AB)=\det A\,\det B\)	体積倍率の積に対応。
トレース	\(\operatorname{tr}A=\sum_i a_{ii}\)	\(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\)。
固有値（2×2）	\(\lambda_{1,2}=\tfrac{\operatorname{tr}A\pm\sqrt{(\operatorname{tr}A)^2-4\det A}}{2}\)	\(\lambda_1+\lambda_2=\operatorname{tr}A,\ \lambda_1\lambda_2=\det A\)。
単位の扱い	成分ごとに単位が付く	積では「行の単位×列の単位」。逆行列は係数の逆次元。

測定値の校正や座標変換の最小例で使います。単位は各成分に付くので、逆行列では次元が反転することに注意。

a b c d

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化学量論行列×速度、回転行列×ベクトルなど、行×列の内積で各要素が決まります。単位の掛け算に注意。

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校正（係数決定）や簡単な物質収支の解法。\(\det A\) が 0 に近いと不安定（多重共線性）になります。

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Q1：\(\det\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}\) を求めよ。

A：\(2\cdot 3 - 1\cdot(-1) = 7\)。

Q2：\(\operatorname{tr}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)、\(\det\) と固有値の関係は？

A：\(\operatorname{tr}=5,\ \det=-2\)。固有値 \(\lambda_{1,2}=\tfrac{5\pm\sqrt{33}}{2}\)。

Q3：最小二乗 \(y=X\beta+\varepsilon\) で、列 \([1,x]\) の \(X\) を用いるとき \(\beta=[b_0,b_1]^\mathsf{T}\) の単位は？

A：\(b_0\) は \(y\) の単位、\(b_1\) は \(y/x\) の単位。