このページの使い方（参考書）
まず“式カード”で要点をつかむ
意味：二つのベクトルの“向きの近さ”を測るスカラー。角度 θ と大きさに依存。
単位：各成分の単位が掛け合わさる（例：m×N → N·m）。
化学の例：モーメント（\mathbf r\cdot \mathbf F ではなく、しばしば仕事 W=\mathbf F\cdot \mathbf s）など。
意味：二つのベクトルが張る平行四辺形の面積と、右ねじに従う向きを与えるベクトル。
単位：やはり掛け算（例：m×N → N·m）。
化学の例：磁気モーメントと磁場のトルク \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf B 等。
意味：\(\mathbf a\) を \(\mathbf b\) に沿う成分と直交成分に分ける。
注意：\(\log\) と異なり、射影は元の単位を保つ（比率は無次元）。
操作のヒント：式カードはクリック/Enterで拡大表示できます（数式をさらに大きく）。
ベクトルの基本
| 内容 | 式 | ポイント | 化学での例 |
|---|---|---|---|
| 大きさ | \( \lVert \mathbf a\rVert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 \,(+ a_z^2)} \) | 単位は成分と同じ | 変位、速度、力の大きさ |
| 角度 | \( \cos\theta = \dfrac{\mathbf a\cdot \mathbf b}{\lVert \mathbf a\rVert \lVert \mathbf b\rVert} \) | 単位は相殺（無次元） | 配向、配列角度 |
| 2D外積 | \( [\mathbf a\times\mathbf b]_z = a_x b_y - a_y b_x \) | 符号付き面積（右ねじ） | 面の向き、回転向き |
| 混合積 | \( \mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c) \) | 体積（符号付き） | 立体配置の向き |
単位の注意：内積・外積は次元が掛け合わさる量です。例：r[m] と F[N] → N·m。
2Dベクトルの可視化（内積・角度・射影）
成分を入れて「描画」。角度・内積・射影・和/差を自動計算します（単位は自由ですが、同じ系で統一）。
3D 外積（面積・直交性）
\(\mathbf a\times\mathbf b\) と \(|\mathbf a\times\mathbf b|\) を計算し、直交性（\((\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=0\) 等）を確認します。
面積は |a×b|（平行四辺形）。直交性：(a×b)·a = (a×b)·b = 0。
練習問題（解答はクリックで表示）
Q1：\(\mathbf a=(2,1)\)、\(\mathbf b=(1,2)\)。\(\mathbf a\cdot\mathbf b\)、角度 \(\theta\) を求めよ。
A：\(\mathbf a\cdot\mathbf b=4\)。\(\cos\theta=4/(\sqrt{5}\sqrt{5})=0.8\) → \(\theta\approx36.87^\circ\)。
Q2：\(\mathbf a=(1,0,0)\)、\(\mathbf b=(0,1,0)\)。\(\mathbf a\times\mathbf b\) と面積。
A：\(\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,1)\)、面積 \(=1\)。
Q3：\(\mathbf a=(3,4)\) を \(\mathbf b=(1,0)\) に射影したベクトル。
A：\(\mathrm{proj}_{\mathbf b}\mathbf a = \dfrac{3}{1}\,(1,0)=(3,0)\)。